18
bahislerde avantajlı olduğu iddia edilen ama türkçe'de bildiğim kadarıyla "kumarbazın iflası" olarak geçen ve asıl ismi olan "gambler's ruin" ile anılan istatistiksel konsept de dikkate alındığında işin gerçeğinin öyle olmadığı bariz şekilde anlaşılan bahis alma şeklidir. martingale ile para kazanmanın mümkün olmadığı belirtilmiş ancak ben "gambler's ruin"'in hem matematiksel hem de istatistiki yaklaşımı ile bu durumu genişletmek istiyorum.
kumarbazın iflası olarak geçen nosyon aslında olasılık kavramının en primitif hali ile ele alındığı 17 yy. ve özellikle de blaise pascal ile pierre fermat'in birbiri ile yazıştığı dönemlere dayanıyor. günümüzde markov chain gibi daha ileri düzeyde araştırma konularına da ana tema olan kumarbazın iflası basitçe şöyle açıklanabilir: bir kumarbazın i değerinde (0 < i < n) bir sermaye ile oyuna başlaması ve p olasılık ile her oyunda parasını 1 birim kadar arttırmasına, q kadar (1-p) kadar olasılık ile de sermayesini 1 birim kadar azaltmasına dayanıyor. oyun ise bu kumarbazın sermayesini ya n yaptığında ya da tamamen tüketip 0'a indiğinde sonlanıyor. daha iyi kafada canlanması adına bunu aslında kumar oynayan 2 kişi varmış, başlangıç sermayesi sayı doğrusunda i noktasındaymış ve i'den büyük olmak kaydıyla n değerine yaklaştıkça b kumarbazı, 0 noktasına yaklaştıkça da a kumarbazının iflas etmeye yaklaştığı şekilde betimlenebilir. bunun matematiği, kanıtı ve olasılıklar dahilindeki yaklaşımını 1 sayfadan biraz daha uzun olacak şekilde kanıtladım.
https://gss.gs/N5q.jpg
https://gss.gs/sag.jpg
en sondaki örnekten de görülebileceği üzere herhangi bir kumarbazın %50'den yalnızca %1 daha az olasılıkla kazanma olasılığı olması durumunda başlangıç sermayesi 10 dolar iken %40 olasılıkla, 50 dolar iken %12 olasılıkla ve 100 dolar iken yalnızca %2 olasılıkla sermayesini n miktarına ulaştırabildiğini belirttim. bu da demek oluyor ki; %50'ye oldukça yakınsak bir kazanma oranına dahi sahip olunsa ana sermayenin az bir miktar büyümesi ile kumarbazın batma olasılığı %100'e yakınsamaya başlıyor. bunu gündelik yaşantıya ve 3 olasılıklı bahse odakladığımızda ise durum tahmin ettiğiniz gibi çok daha vahim bir hal alacaktır. her ne kadar futbol bahsinde basitçe 3 sonuç olduğu düşünülebilmesine rağmen bunların birbirinden bağımsız (independent) olup olmadığı tartışmaya açıktır. işte tam bu noktada örneği basketbol maçlarına kaydırarak odağı bir başka istatistiksel yaklaşım ile noktalamak istiyorum. basketbolda 2 olasılık olduğu ve %50-50 şans ile en azından kumarbazın iflasını yaşamayacağımızı, oyunun beklenen değerinin yine başlangıç sermayemiz olan i olduğu ve i ile n sayıları eğer yeteri kadar büyükse oyunun süresinin sonsuza yakınsayabileceği çıkarımında bulunulabilir. ancak şimdi st. petersburg paradoksu olarak geçen ama bence aslında paradoks olmayan olasılıksal yaklaşıma geçiyoruz.
st. petersburg paradoksu basitçe bir yazı-tura oyunudur ve oyun ilk kez yazı geldiğinde sona erer. oyuncunun kazancı ise yazının kaçıncı para atışında geleceği ile ilintilidir. formülasyon olarak ise 2^k ile hesaplanır. burada k sayısı para atışını ifade etmektedir. yani, eğer ilk para atışında yazı gelirse 2, ikincide gelirse 4, üçüncüde gelirse 8 birim para kazanılacaktır. buna ilişkin kanıt ve matematiksel yaklaşım da şu şekilde:
https://gss.gs/njD.jpg
bu noktada problem şudur ki; görüldüğü gibi oyunun beklenen değeri sonsuzdur. çünkü ilk atışta yazı gelme olasılığı 1/2 iken bunun getirisi 2'dir. 2* (1/2) = 1, ikincide yazı gelme olasılığı 4 iken bunun olasılığı (1/4)'tür ve getirisi yine 1'dir. bu şekilde sonsuza kadar uzayan bir toplam dizisi içerisinde kalırız. ancak düşünülmesi gereken önemli hususlar vardır ve bence bu hususlar bu problemi paradoks olmaktan çıkartır. öncelikle insanların büyük çoğunluğu riskten kaçınan bir tavır izlerler ve her ne kadar matematiksel olarak beklenen değer sonsuz ise de insanlar algısında bunu farklı bir fonksiyon ile ifade ederek sonlu bir beklenen değere sahip olduğu yaklaşımı ile hareket ederler. ikinci problem ise bu kumarın oynandığı casinoda veya bahis yapılan online platformda sınırlı miktarda para bulunduğu konusudur. yaptığım araştırmaya göre abd'deki en büyük casinoların herhangi bir günün herhangi bir anında nakit olarak 8 haneli sayılarda bir miktar bulundurduğu bilgisine ulaştım. ben bu miktarı biraz daha abartarak tek seferde 1 milyar verebileceklerini varsayarak bir sonlu çözüm bulma yoluna gittim. yukarıdaki örnekte 2^30 yaklaşık olarak 1,07 milyara denk gelmekte ve görüldüğü gibi 1 milyar oldukça astronomik bir miktar olmasına rağmen oyunun beklenen değeri yalnızca 30 birim olmaktadır. bu da demek oluyor ki; tamamen duygularından arınmış bir insanın bu kumar için 30 birim parayı gözden çıkartabilir. çünkü beklenen değer budur. eğer jeff bezos kadar parası olan bir casino bulduysanız bu sayı 37'ye, abd'nin gayrisafi yurtiçi hasılası (20.8 trilyon dolar) parası olan bir casino varsa 44'e ve tüm dünya'nın gayrisafi yurtiçi hasılası (83.8 trilyon dolar) kadar parası olan bir casino var ise de yalnızca 59'a çıkmaktadır. bu da demek oluyor ki aslında bu bir paradoks değil ve çözümü gayet bariz olan bir problemdir.
buradan varılacak nokta şudur: basketbolda ve/veya 2 sonuçlu başka bir spor dalında 2 olasılık dahilinde olunsa bile yukarıda bahsedilen iki sebepten dolayı, (i) riskten kaçınma durumu ve beklenen gelirinin aslında daha az olması ve (ii) bahis yaptıran kurumun kısıtlı para kaynağı hiçbir kumar ve bahis kazançlı değildir.
kumarbazın iflası olarak geçen nosyon aslında olasılık kavramının en primitif hali ile ele alındığı 17 yy. ve özellikle de blaise pascal ile pierre fermat'in birbiri ile yazıştığı dönemlere dayanıyor. günümüzde markov chain gibi daha ileri düzeyde araştırma konularına da ana tema olan kumarbazın iflası basitçe şöyle açıklanabilir: bir kumarbazın i değerinde (0 < i < n) bir sermaye ile oyuna başlaması ve p olasılık ile her oyunda parasını 1 birim kadar arttırmasına, q kadar (1-p) kadar olasılık ile de sermayesini 1 birim kadar azaltmasına dayanıyor. oyun ise bu kumarbazın sermayesini ya n yaptığında ya da tamamen tüketip 0'a indiğinde sonlanıyor. daha iyi kafada canlanması adına bunu aslında kumar oynayan 2 kişi varmış, başlangıç sermayesi sayı doğrusunda i noktasındaymış ve i'den büyük olmak kaydıyla n değerine yaklaştıkça b kumarbazı, 0 noktasına yaklaştıkça da a kumarbazının iflas etmeye yaklaştığı şekilde betimlenebilir. bunun matematiği, kanıtı ve olasılıklar dahilindeki yaklaşımını 1 sayfadan biraz daha uzun olacak şekilde kanıtladım.
https://gss.gs/N5q.jpg
https://gss.gs/sag.jpg
en sondaki örnekten de görülebileceği üzere herhangi bir kumarbazın %50'den yalnızca %1 daha az olasılıkla kazanma olasılığı olması durumunda başlangıç sermayesi 10 dolar iken %40 olasılıkla, 50 dolar iken %12 olasılıkla ve 100 dolar iken yalnızca %2 olasılıkla sermayesini n miktarına ulaştırabildiğini belirttim. bu da demek oluyor ki; %50'ye oldukça yakınsak bir kazanma oranına dahi sahip olunsa ana sermayenin az bir miktar büyümesi ile kumarbazın batma olasılığı %100'e yakınsamaya başlıyor. bunu gündelik yaşantıya ve 3 olasılıklı bahse odakladığımızda ise durum tahmin ettiğiniz gibi çok daha vahim bir hal alacaktır. her ne kadar futbol bahsinde basitçe 3 sonuç olduğu düşünülebilmesine rağmen bunların birbirinden bağımsız (independent) olup olmadığı tartışmaya açıktır. işte tam bu noktada örneği basketbol maçlarına kaydırarak odağı bir başka istatistiksel yaklaşım ile noktalamak istiyorum. basketbolda 2 olasılık olduğu ve %50-50 şans ile en azından kumarbazın iflasını yaşamayacağımızı, oyunun beklenen değerinin yine başlangıç sermayemiz olan i olduğu ve i ile n sayıları eğer yeteri kadar büyükse oyunun süresinin sonsuza yakınsayabileceği çıkarımında bulunulabilir. ancak şimdi st. petersburg paradoksu olarak geçen ama bence aslında paradoks olmayan olasılıksal yaklaşıma geçiyoruz.
st. petersburg paradoksu basitçe bir yazı-tura oyunudur ve oyun ilk kez yazı geldiğinde sona erer. oyuncunun kazancı ise yazının kaçıncı para atışında geleceği ile ilintilidir. formülasyon olarak ise 2^k ile hesaplanır. burada k sayısı para atışını ifade etmektedir. yani, eğer ilk para atışında yazı gelirse 2, ikincide gelirse 4, üçüncüde gelirse 8 birim para kazanılacaktır. buna ilişkin kanıt ve matematiksel yaklaşım da şu şekilde:
https://gss.gs/njD.jpg
bu noktada problem şudur ki; görüldüğü gibi oyunun beklenen değeri sonsuzdur. çünkü ilk atışta yazı gelme olasılığı 1/2 iken bunun getirisi 2'dir. 2* (1/2) = 1, ikincide yazı gelme olasılığı 4 iken bunun olasılığı (1/4)'tür ve getirisi yine 1'dir. bu şekilde sonsuza kadar uzayan bir toplam dizisi içerisinde kalırız. ancak düşünülmesi gereken önemli hususlar vardır ve bence bu hususlar bu problemi paradoks olmaktan çıkartır. öncelikle insanların büyük çoğunluğu riskten kaçınan bir tavır izlerler ve her ne kadar matematiksel olarak beklenen değer sonsuz ise de insanlar algısında bunu farklı bir fonksiyon ile ifade ederek sonlu bir beklenen değere sahip olduğu yaklaşımı ile hareket ederler. ikinci problem ise bu kumarın oynandığı casinoda veya bahis yapılan online platformda sınırlı miktarda para bulunduğu konusudur. yaptığım araştırmaya göre abd'deki en büyük casinoların herhangi bir günün herhangi bir anında nakit olarak 8 haneli sayılarda bir miktar bulundurduğu bilgisine ulaştım. ben bu miktarı biraz daha abartarak tek seferde 1 milyar verebileceklerini varsayarak bir sonlu çözüm bulma yoluna gittim. yukarıdaki örnekte 2^30 yaklaşık olarak 1,07 milyara denk gelmekte ve görüldüğü gibi 1 milyar oldukça astronomik bir miktar olmasına rağmen oyunun beklenen değeri yalnızca 30 birim olmaktadır. bu da demek oluyor ki; tamamen duygularından arınmış bir insanın bu kumar için 30 birim parayı gözden çıkartabilir. çünkü beklenen değer budur. eğer jeff bezos kadar parası olan bir casino bulduysanız bu sayı 37'ye, abd'nin gayrisafi yurtiçi hasılası (20.8 trilyon dolar) parası olan bir casino varsa 44'e ve tüm dünya'nın gayrisafi yurtiçi hasılası (83.8 trilyon dolar) kadar parası olan bir casino var ise de yalnızca 59'a çıkmaktadır. bu da demek oluyor ki aslında bu bir paradoks değil ve çözümü gayet bariz olan bir problemdir.
buradan varılacak nokta şudur: basketbolda ve/veya 2 sonuçlu başka bir spor dalında 2 olasılık dahilinde olunsa bile yukarıda bahsedilen iki sebepten dolayı, (i) riskten kaçınma durumu ve beklenen gelirinin aslında daha az olması ve (ii) bahis yaptıran kurumun kısıtlı para kaynağı hiçbir kumar ve bahis kazançlı değildir.
